Légendes des Echecs - Sissa

L'invention du jeu d'Echecs est le cadre d'une célèbre légende. Environ 3000 ans avant JC, en Inde, le Roi Belkib, morose, offrit une forte récompense à quiconque lui offrirait une distraction exceptionnelle. Un certain Sissa lui proposa un nouveau Jeu - les Echecs. Belkib, enthousiaste, demanda alors à Sissa ce qu'il souhaitait en tant que prix de sa trouvaille. Sissa lui proposa de disposer 1 grain de riz sur la première case de l'échiquier, 2 sur la seconde, 4 sur la troisième, 8 sur la quatrième, 16 sur la cinquième, et ainis de suite jusqu'à la 64ème case. Sa récompense serait le total des grains de blé ainsi répartis.

Belkib accepta d'abord avec insouciance - mais ne put honorer sa promesse. Le total des grains était en effet de 18 446 744 073 709 551 615 - soit près de 400000000000 tonnes de riz. Certaines variantes de la légende rapportent que Belkib - une fois la réalité de la demande bien comprise - fit décapiter Sissa pour son insolence. D'autres, moins cruelles, affirment que le Roi accepta à condition que Sissa compte au préalable les grains pour vérifier l'exactitude de leur nombre.

Quoi qu'il en fût du sort de Sissa, sauriez-vous expliquer pourquoi le nombre de grains était de 264-1?

Plus généralement, sauriez-vous expliquer pourquoi pour tout réel q et tout entier n:

1+q+q2+q3+q4+....+qn=(1-qn+1)/(1-q)

[A étudier à partir de la classe de quatrième!]

Aux origines du Jeu d'Echecs